Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d，当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．
（1）求b，c的值；
（2）若函数f（x）的极大值大于20，极小值小于5，试求d的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，令导函数在两个极值点处的值为0，列出方程组，求出b，c的值．
（2）将（I）中求出的 b，c的值代入f（x），列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，求出极大值与极小值，利用已知条件列出不等式组，求出d范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2bx+c
∵当x=-3和x=1时，f（x）取得极值，
∴f′（-3）=0，f′（1）=0，
∴，
解得，b=3，c=-9．
（2）由（Ⅰ）知：f（x）=x3+3x2-9x+d，f′（x）=3x2+6x-9，
令f′（x）＞0，得3x2+6x-9＞0，解得x＜-3或x＞1，
∴f（x）的增减区间、极值、端点值情况如下表：

x （-∞，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 递增 极大值27+d 递减 极小值d-5 递增

∵函数f（x）的极大值大于20，极小值小于5．
∴，解得-7＜d＜10，
∴d的取值范围是（-7，10）．