Question

已知函数．
（1）求函数f （x）的定义域；．
（2）解关于x的不等式：f（x）＞log₂（2x²-2x-4）
（3）求函数f （x）的值域．

Answer

（1）根据对数的定义可知真数要大于0，建立关系式，求出交集即可求出函数f （x）的定义域；．
（2）先利用对数的运算性质进行化简整理，然后建立方程，讨论p的取值范围，从而求出不等式的解集；
（3）讨论真数所对应的二次函数的对称轴，从而得到二次函数在定义域上的单调性，从而得到二次函数的值域，根据复合函数的值域求解方法可求出所求．
【解析】
（1）由
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
（2）若1＜P≤2，解集φ
（3）
令
①当，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log2（p-1），
函数f（x）的值域为（-∞，1+log2（p-1））；
②当即p≥3时，，
即
∴f（x）≤2log2（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，1+log2（p-1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2）