Question

已知函数f（x）=ax²+（a+2）x+b．
（1）若a=0，当-1＜x＜1时，f（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围；
（2）若f（0）=，当x∈R时f（x）≥0恒成立，求函数g（a）=（a-4）（1+|a-1|）的值域．

Answer

（1）首先求出f（x）=2x+b，然后根据一次函数的单调性求出函数的最小值，即可求出b的值；
（2）先求出b的值，再根据当x∈R时f（x）≥0恒成立得出1≤a≤4，然后化简g（a）=（a-2）2-4，进而根据二次函数的特点求出值域．
【解析】
（1）a=0时  f（x）=2x+b
当-1＜x＜1时  f（x）＞0恒成立
则f（-1）≥0（2分）
得-2+b≥0
解得b≥2（1分）
（2）若
∴（1分）
当a=0时不可能恒成立（x∈R）
当a≠0时要使f（x）≥0恒成立，则  （2分）
解得：1≤a≤4（1分）
∴g（a）=（a-4）（1+a-1）=（a-2）2-4（1分）
当a=2时g（a）min=-4
当a=4时，g（a）max=0
∴值域[-4，0]（2分）