Question

如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求二面角F-BD-A的大小．

Answer

（1）取AB的中点G，利用三角形的中位线平行且等于底边的一半得到四边形FGCD是平行四边形，进一步得到DF∥CG，利用直线与平面平行的判定定理得证．
（2）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量垂直于平面内两相交向量，求出平面BDF与平面ABD的法向量，利用向量的数量积求出两个法向量的夹角余弦，根据平面与平面所成角与法向量所成角的关系求出二面角F-BD-A的大小．
【解析】
（1）取AB的中点G，连CG，FG，
则FG∥BE，且FG=BE，
∴FG∥CD且FG=CD，
∴四边形FGCD是平行四边形，
∴DF∥CG，
∵CG⊂平面ABC，FD⊄平面ABC
∴DF∥平面ABC．…（5分）
（2）以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为 x、y、z轴，
建立如图的空间直角坐标系，则
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）．
∴=（0，2，1），=（1，-2，0）
设平面BDF的一个法向量为=（x，y，z），
∵⊥，⊥，
∴，即，解得，
则x=2y，z=-2y  令y=1则x=2，z=-2
∴…（7分）
=（2，0，0），=（0，2，1）
设是平面ABD的一个法向量
所以 解得：x=0，z=-2y
令y=1  得  z=-2   所以…（9分）
二面角F-BD-A的平面角为θ，显然是锐角．
即cosθ=
即θ=arccos…（12分）