Question

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，
（1）求m与n的关系式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若m＜-4，求证：函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

Answer

（1）由x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式；
（2）根据（I），代入f（x）中，求导，令导数f′（x）＞0，求得单调增区间，令f′（x）＜0，求得单调减区间．
（3）先由f（1）=m+4，由题意得到函数f（x）的图象在上和x轴没有交点，在上单调递减，与x轴有一个交点，从而证得：若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．
【解析】
（1）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6
（2）由（I）知，f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=
当m＜0时，有，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：

x 1 （1，+∞）
f′（x） ＜0 ＞0 ＜0
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减

故有上表知，当m＜0时，f（x）在单调递减，在单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（3）证明：f（1）=m+4，当x＜-4时，f（1）＜0，
则函数f（x）的图象在上和x轴没有交点，在上单调递减，
与x轴有一个交点，综上所述，若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．