Question

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，，分别为AC、AD上的动点．
（1）若，求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若，，求平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．

Answer

（1）由已知中AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，由，根据平行线分线段成比例定理，可得EF∥CD，由线面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，可得平面BEF⊥平面ABC；
（2）方法一（向量法）建立空间直角坐标系C-xyz，根据，分别为AC、AD上的动点，，，分别求出平面BEF与平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．
方法二（几何法）延长EF，交CD的延长线于G，连接BG，过E作EH⊥BC于H，可得EH⊥平面BCD，过H作HK⊥BG于K，连接EK，则∠EKH即为所求二面角的平面角，解Rt△BCD即可求出平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．
证明：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．
∵，
∴EF∥CD．
∴EF⊥平面ABC，
∵EF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC．
【解析】
（2）解法一（向量法）：
如图建立空间直角坐标系C-xyz
则，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
设平面BEF，
则，
设平面BCD，则可取（0，0，1），
∴，
所以，平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°．
方法二（几何法）：
延长EF，交CD的延长线于G，连接BG，
过E作EH⊥BC于H，则EH⊥平面BCD，
过H作HK⊥BG于K，连接EK，则EK⊥BG，
∴∠EKH即为所求二面角的平面角．
∵，
∴，
在Rt△BCD中，可以解得，
∴在Rt△BCD中，∠EKH=45°，即平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45°．