Question

已知实数a同时满足下列两个条件：
①函数f（x）=lg（x²-2ax+a²-a+1）的定义域为R；
②对任意的实数x，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在①的条件下，求关于x的不等式log_a（-2x²+3x）＞0的解集．

Answer

（1）先分别求出满足条件①的a的取值范围和满足条件②的a的取值范围，然后取这两个取值范围的公共部分就是实数a的取值范围．
（2）在①的条件下，不等式loga（-2x2+3x）＞0⇔，解这个不等式组可得答案．
【解析】
（1）求满足条件①的a的取值范围，
函数f（x）的定义域为R⇔x取任意实数时，
x2-2ax+a2-a+1＞0恒成立⇔△＜0，
即△=（-2a）2-4（a2-a+1）＜0
解得：a＜1．
求满足条件②的a的取值范围
设
由可得，
4x≥6a，得4x-3a≥3a．
说明：当
又当
∴对任意的实数x，恒有g（x）≥3a
要使得x取任意实数时，不等式2x+|2x-3a|＞1恒成立，
须且只须
由①②可得，同时满足条件（i）、（ii）的实数a的取值范围为：．
（2）∵，∴不等式loga（-2x2+3x）＞0⇔⇔⇔，∴．∴不等式loga（-2x2+3x）＞0的解集是：．