Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m．

Answer

（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；
（2）不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立可转化成f（x）在x∈[-2，2]的最大值小于等于1，结合a的范围研究函数f（x）在x∈[-2，2]的最大值，建立不等式解之即可．
【解析】
（I）∵f′（x）=3x2+2ax-a2=，
又a＞0，当x＜-a或x＞时，f′（x）＞0
当时，f′（x）＜0
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（，+∞），
单调减区间为（-a，）
（II）∵a∈[3，6]由（I）知
又x∈[-2，2]
∴f（x）max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
∵f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a2的最小值为-87
m≤-87