Question

已知：函数，（其中θ，m为常数，）图象的一个对称中心是．
（I）求θ和m的值；
（II）求f（x）的单调递减区间；
（III） 求满足的x的取值范围．

Answer

（I）由已知中函数，我们易根据二倍角公式，及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，又由函数图象的一个对称中心是．我们可以构造关于θ和m的方程，解方程即可求出θ和m的值．
（II）根据（I）的结论我们易得到函数f（x）的解析式，根据余弦函数的单调性，我们易求出f（x）的单调递减区间；
（III）利用的运算性质，我们可将不等式转化为一个三角函数不等式，然后根据（II）的结论，将不等式化为最简形式后，结合余弦函数的性质，即可得到答案．
【解析】
（I）函数
=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）+1+m
=2sin（2x+θ+）+m+1
又∵图象的一个对称中心是
∴+θ+=kπ，且m+1=2
又∵，
∴，m=1
（II）由（1）得，函数的解析式可化为f（x）=2sin（2x+）+2=2cos2x+2
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，
则f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，（k∈Z），
（III）若
即0＜f（x）＜1
即0＜2cos2x+2＜1
即-1＜cos2x＜-
即2x∈（2kπ+，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+），（k∈Z），
即x∈（kπ+，kπ+）∪（kπ+，kπ+），（k∈Z）．