Question

已知动点P与双曲线的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）•，求△PF₁F₂的面积；
（3）若已知D（0，3），M、N在曲线C上，且，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）先求出焦点坐标，根据动点P到两个焦点F1，F2的距离之和为定值6且6＞2，可得动点P的运动轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆；再求出对应的a，b，c即可找到动点P的轨迹C的方程；
（2）先设出点P的坐标，代入•，得到关于点P的坐标的一个方程；再结合点P的轨迹C的方程可求出点P的纵坐标的绝对值；最后代入三角形的面积计算公式即可；
（3）设出直线MN的方程以及点M，N的坐标，联立直线方程与曲线C的对应方程，根据两者有公共点，可以求出k的取值范围以及点M，N的坐标与k的关系；再结合，求出点M，N的坐标与λ的之间的关系；最后通过消去M，N的坐标来求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）由双曲线的两个焦点：F1、F2．
可知F1（-√5，0），F2（√5，0）
∵动点P到两个焦点F1，F2的距离之和为定值6且6＞2
∴动点P的运动轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆
∴c=，a=3，b2=a2-c2=4．
∴动点P的轨迹C的方程：．
（2）设P（x，y），则=（，-y）；=（-x，-y）；
∴=x2-5+y2=3．
∵点P的轨迹C的方程：．
∴⇒y2=⇒．
∴S△=|F1F2|•|y|=×2×=2．
（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），
把直线MN的方程为y=kx+3代入  消去x整理得
：（4+9k2）x2+54kx+45=0
∵△=54×54k2-4×45（4+9k2）≥0
∴k2≥…①
∴x1+x2=…②，
x1•x2=…③
∵，
∴x1=λx2…④
由②③④并消去x1与x2…并整理得：=
再由①可得4≤＜
解得≤t≤5
当k不存在时此时MN为短轴容易得t=或5
综上可知λ取值范围为[，5]