Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列b_n满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{}的前n项和，求T_n
（3）（只理科作）接（2）中的T_n，求证：T_n≥．

Answer

（1）由Sn与an的关系Sn=2an-2n利用仿写的方法消去Sn得到an+2=2（an-1+2），再利用等比数列的定义求出an=2n+1-2．
（2）由（1）得数列{an}的通项公式an=2n+1-2所以bn=n+1∴利用错位相减可得∴．
（3）利用证明Tn是递增数列，求其最小值即可．
【解析】
（1）当n∈N+时，Sn=2an-2n，
则当n≥2，n∈N+时，Sn-1=2an-1-2（n-1）
         ①-②，an=2an-2an-1-2，an=2an-1+2
∴an+2=2（an-1+2），
∴，n=1时   S1=2a1-2，∴a1=2
∴{an+2}是a1+2=4为首项2为公比的等比数列，
∴an+2=4•2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-2
（2）证明bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1．
∴，
则，
∴④
③-④，=
=
=
∴．
（3）n≥2时，
∴{Tn}为递增数列
∴
∴