Question

设等比数列{a_n}的前n项的和为S_n，且对任意n∈N^*，S_n＞0，则数列{a_n}的公比的取值范围为（ ）
A．（-∞，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，+∞）

Answer

，由S1=a1＞0，知恒成立，当q＞1时，qn＞1恒成立；当q=1时，只要a1＞0，Sn＞0就一定成立．当q＜1时，1-qn＞0必须恒成立；当0＜q＜1时，1-qn＞0恒成立；当-1＜q＜0时，1-qn＞0也恒成立；当q＜-1时，当n为偶数时，1-qn＞0不成立；当q=-1时，显然1-qn＞0也不可能恒成立．由此能得到q的取值范围．
【解析】
，
∵Sn＞0，∴a1＞0，
则恒成立，
当q＞1时，1-qn＜0恒成立，
即qn＞1恒成立，
又q＞1，所以这显然成立，
当q=1时，只要a1＞0，Sn＞0就一定成立．
当q＜1时，
1-qn＞0必须恒成立
当0＜q＜1时，1-qn＞0恒成立
当-1＜q＜0时，1-qn＞0也恒成立
当q＜-1时，当n为偶数时
1-qn＞0不成立
当q=-1时，显然1-qn＞0也不可能恒成立
所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
故选D．