Question

在的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）展开式的哪几项是有理项（回答项数即可）；
（Ⅲ）求出展开式中系数最大的项．

Answer

（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r 分别为2，n-2得到第3项的系数与倒数第3项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值．
（II）利用（I）的结果代入展开式的通项，令x的指数为整数，求出r的值得到展开式的有理项．
（III）设出展开式的系数最大的项，令其系数大于等于它前一项的系数同时大于等于它后一项的系数，列出不等式组，求出展开式中系数最大的项．
【解析】
（Ⅰ）展开式的通项为
令r=2得展开式第3项的系数为22Cn2=4Cn2，
令r=n-2得倒数第3项的系数是 2n-2Cnn-2=2n-2Cn2
所以有16×4Cn2=2n-2Cn2：，
解得n=8；
（Ⅱ）当 n=8时，展开式的通项为
要为有理项则 为整数，此时 r可以取到0，2，4，6，8，
所以有理项分别是第1项，第3项，第5项，第7项，第9项；
（Ⅲ）设第 k项系数的最大，
∴，
解得k=6或7，
故系数的最大的项是第6项和第7项，
∴分别展开式中系数最大的项为T6=，T7=1792x-11