Question

（类型A）已知函数f（x）=，f（x）的导函数是f^′（x），对任意两个不相等的正数x₁，x₂，证明：
（1）当a≤0时，
（2）当a≤4时，|f^′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（类型B）某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元．如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人．如何组团，可使旅行社的收费最多？

Answer

（类型A）（1）将x1，x2代入整理，整理出关于x1，x2的关系式，结合基本不等式使用条件，再由基本不等式可证．
（2）先对函数f（x）进行求导，将x1，x2代入整理变形，转化为证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有 恒成立，从而得证．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180），求出对称轴得到函数的最大值．
【解析】
（类型A）证明：（1）由
得 =
而 ①
又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
∴②
∵
∴
∵a≤0
∴③
由①、②、③得
即 ．
（2）：由 ，得
∴=
下面证明对任意两个不相等的正数x1，x2，有 恒成立
即证 成立
∵
设 ，
则 ，
令u′（x）=0得 ，列表如下：

∴
∴对任意两个不相等的正数x1，x2，恒有|f'（x1）-f'（x2）|＞|x1-x2|．
（类型B）设有x人参加旅行团，收费共y元，则有：
y=1000x-5×（x-100）×x，（100≤x≤180）．
整理得：y=-5x2+1500x=-5（x-150）2+112500．
所以当x=150人时，旅行团的收费最多为112500元．