Question

已知定义域为R（实数集）的函数，f（x）中，f（0）=1
且当n-1≤x＜n（n∈Z）时，f（x）=（x-n）•f（n-1）+f（n）
（Ⅰ）求f（2）的值及当x∈[3，4）时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）“定义：设g（x）为定义在D上的函数，若存在正数M，对任意x∈D都有|g（x）|≤M，则称函数g（x）为D上有界函数；否则，称函数g（x）为D上无界函数．”试证明f（x）为R上无界函数．

Answer

（Ⅰ）令x=0，求出f（1）的值，进而得出f（2）的值；令x=n，得出2f（n）=f（n+1），进而求出当n∈N+时，f（n）=2n，当n∈N-时，f（n）=2n，即可求出f（x）的表达式．
（Ⅱ）取两个实数x1，x2，设x1＜x2，①若n-1≤x1＜x2＜n，则f（x1）-f（x2）=2n-1（x1-x2）＜0；若n1-1则x1＜n1n-1＜x2＜n，f（x2）≥f（n1），即可得出结果．
（Ⅲ）对任意M＞0，取M＞M，且log2M∈Z，记x=log2M，则：f（x）=2log2M=M＞M，即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意得f（0）=（0-1）f（0）+f（1），
∵f（0）=1∴f（1）=2
同理得：∴f（2）=4（2分）
又对任意n∈Z，f（n）=（n-n-1）f（n）+f（n+1）
即 2f（n）=f（n+1）（4分）
当n∈N+时，f（n）=2f（n-1）=22f（n-2）=…=2nf（0）=2n
当n∈N-时，f（0）=2f（-1）=22f（-2）=…=2-nf（n），
即 f（n）=2n．  （7分）
综上可得：f（n）=2n（n∈Z）
当x∈[3，4）时，f（x）=f（3）（x-4）+f（4）=8x-16（8分）
（Ⅱ）f（x）是定义域上的增函数．
任意取两个实数x1，x2，设x1＜x2
①若n-1≤x1＜x2＜n，则f（x1）-f（x2）=f（n-1）（x1-n）+f（n）-f（n-1）（x2-n）-f（n）
=f（n-1）（x1-x2）=2n-1（x1-x2）＜0（12分）
②若n1-1则x1＜n1n-1＜x2＜n，
依①可得 f（x2）…f（n-1）
事实上 f（n-1）=2n-1，，∵n1，n-1
∴f（n1），f（n-1）∴f（x2）≥f（n1）
综上所述：f（x1）＜f（x2）（16分）
所以，f（x）是定义域上的增函数．
（Ⅲ）对任意M＞0，取M＞M，且log2M∈Z，
记x=log2M
则：
所以 f（x）为R上无界函数．  （20分）