Question

对于函数f（x），若存在x使得f（x）=x成立，则称点（x，x）为函数f（x）的不动点．
（1）已知函数f（x）=ax²+bx-b（a≠0）有不动点（1，1）和（-3，-3），求a，b的值．
（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax²+bx-b总有两个相异的不动点，求a的范围．

Answer

（1）根据不动点的定义，及已知中函数f（x）=ax2+bx-b（a≠0）有不动点（1，1）和（-3，-3），我们易构造一个关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
（2）若函数f（x）=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，则方程ax2+bx-b=x有两个相异的实根，由此可以构造出一个不等式，结合函数的性质，解不等式即可得到a的范围．
【解析】
（1）由题意，即，解的．
（2）函数f（x）=ax2+bx-b总有两个相异的不动点，
即关于x的方程f（x）=x有两个不等根．
化简f（x）=x得到ax2+（b-1）x-b=0．
所以（b-1）2+4ab＞0，即b2+（4a-2）b+1＞0．
由题意，该关于b的不等式恒成立，
所以（4a-2）2-4＜0．解之得：0＜a＜1．