Question

已知函数为R上的奇函数
（1）求a的值
（2）求函数的值域
（3）判断函数的单调区间并证明．

Answer

（1）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（-x）=-f（x），从而求得a值即可；
（2）由（1）知 ，利用指数函数2x的性质结合不等式的性质即可求得f（x）的值域．
（3）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即 ，
解得：a=1．
∴．
（2）由（1）知 （4），
∵2x+1＞1，
∴，
∴，∴-1＜f（x）＜1
所以函数的值域为 （-1，1）．
（3）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，
则 =，
∵x1＜x2，∴，∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．