Question

已知，且（e为自然对数的底数）．
（1）求a与b的关系；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（3）证明：
（提示：需要时可利用恒等式：lnx≤x-1）

Answer

（1）直接利用 ，可得 ae--2=，化简可得a与b的关系．
（2）求出f′（x）=，令h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，h（x）≥0恒成立，即a≥ 在（0，+∞）上恒成立，而由基本不等式可得的最大值等于1，所以a≥1．
（3）先证：lnx-x+1≤0  （x＞0），可得 ≤1-，令x=n2，≤（1-），
 可得  ≤（++…+ ）＜[n-1-（）]
=[n-1-（  ）]，化简即得不等式的右边．
【解析】
（1）由题意，，∴ae--2=，
∴（a-b）（e+）=0，∴a=b．
（2）由（1）知：，（x＞0），∴f′（x）=a+-=，
令h（x）=ax2-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）为增函数，只需h（x）在（0，+∞）满足：h（x）≥0恒成立．
即ax2-2x+a≥0，a≥ 在（0，+∞）上恒成立．
又∵0＜=≤1，x＞0，所以a≥1．
（3）证明：先证：lnx-x+1≤0  （x＞0），设K（x）=lnx-x+1，则K′（x）=-1=．
当x∈（0，1）时，k′（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴x=1为k（x）的极大值点，∴k（x）≤k（1）=0．  即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴≤1-．
∵n∈N+，n≥2，令x=n2，得 ≤1-，∴≤（1-），
∴≤（++…+ ）
=[n-1-（）]＜[n-1-（）]
=[n-1-（ ++… ）]=[n-1-（  ）]=，
故要证的不等式成立．