Question

如图，已知ABCD为矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）右图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；
（2）求三棱锥C-DED₁的体积；
（3）求证：平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer

（1）由已知中的几何体俯视图，我们可得正视图和侧视图的观察方向，根据长对正，高平齐，宽相等的原则易得到该几何体的正视图和侧视图；
（2）由（1）中的三视图，我们可以判断出几何的底面和高，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可得到答案；
（3）由已知中D1D⊥平面ABCD，由线面垂直的性质可得ACE⊥DD1，又由AD=DD1=1，AB=2，点E是AB的中点．可得CE⊥DE，进而由线面垂直的判定定理可得CE⊥平面D1ED，再由面面垂直的判定定理即可得到平面DED1⊥平面D1EC．
【解析】
（1）该几何体的正视图和侧视图如图示：
（准确反映三视图的图形特征）-------（4分）
（2）∵D1D⊥平面ABCD
∴（6分）
而
∴---------------（7分）
（3）∵E为AB的中点，
∴△DAE与△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，------（10分）
又∵D1D⊥平面ABCD，EC⊂平面ABCD
∴CE⊥DD1，DE∩DD1=D
∴CE⊥平面D1ED-----------------（12分）
∵EC⊂平面D1EC
∴平面DED1⊥平面D1EC----------------------------（14分）