Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=，CE=EF=1，∠ECA=60°．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．

Answer

（1）由已知中四边形ABCD为正方形，EF∥AC，AB=，CE=EF=1，我们易证得EFAO为平行四边形，即AF∥OE，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（2）由AB∥CD得∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角，解三角形EDC即可得到异面直线AB与DE所成角的余弦值．
【解析】
（1）证明：∵ABCD是正方形，且AB=，
∴AO=1，又EF∥AC，EF=1，
∴EFAO为平行四边形，则AF∥OE，而AF⊄面BDE，OE⊂面BDE，
∴AF∥面BDE （3分）
（2）∵ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角 （2分）
又BD⊥AC，又面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC
∴BD⊥面ACEF，又OE⊂面ACEF，
∴BD⊥OE．
而由EC=1，OC=OA=1，∠ECA=60°
∴OE=1，又OD=1，则ED=
又CD=，CE=1，
∴
∴异面直线AB与DE所成的角的余弦值为（3分）