Question

已知圆C上一点A（2，3），直线2x+y=0平分圆C，且圆C与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆C的方程．

Answer

由圆心为（a，b），半径为r，设出圆的标准方程，由直线2x+y=0平分圆C得到圆心C在直线上，把圆心的坐标代入已知直线方程用a表示出b，然后根据圆C与直线x-y+1=0相交的弦长，根据垂径定理及勾股定理，由圆的半径r及弦长的一半表示出圆心到直线x-y+1=0的距离，利用点到直线的距离公式，表示出圆心到直线x-y+1=0的距离，两者相等，用a表示出r，将表示出的b和半径r代入圆的方程消去b和r，再把A的坐标代入圆的方程，即可求出a的值，从而确定出圆的方程．
【解析】
设圆的方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2
∵直线2x+y=0平分圆，
则：圆心在直线2x+y=0上，则2a+b=0⇒b=-2a（2分）
又直线x-y+1=0与圆相交所得的弦长为，
由圆的几何性质可得：圆心到该直线的距离为（2分）
即：（2分）
∴该圆的方程为，
把A的坐标（2，3）代入圆的方程得：a2+10a+21=0，
解得：a=-3或a=-7，
∴圆的方程为：（x+3）2+（y-6）2=34或（x+7）2+（y-14）2=202．