Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）令g（x）=f′（x），若曲线g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴分别交于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB的面积．

Answer

（1）先对f（x）求导，由题意可得，f′（1）=0，代入求a
（2）求函数f（x）的定义域，令f′（x）＞0，f′（x）＜0分别解出函数的单调增区间、减区间
（3）求g（1）=f′（1）及g′（x），然后求切线的斜率k=g′（1），写出切线方程，求出A，B，进一步求结果．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）=aln（x+1）+（x+1）2，
所以．
由f′（1）=0，可得，a=-8．
经检验a=-8时，函数f（x）在x=1处取得极值，
所以a=-8．
（Ⅱ）f（x）=-8ln（x+1）+（x+1）2，=．
而函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（-1，1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由于，
所以，当x=1时，g′（1）=4，g（1）=0．
所以切线斜率为4，切点为（1，0），
所以切线方程为y=4（x-1），即4x-y-4=0．
令x=0，得y=-4，令y=0，得x=1．
所以△AOB的面积