Question

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…x_n，…，x₂₀₀₉；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₉．
（1）求数列{x_n}的通项公式x_n；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列{y_n}的一个通项公式；
（3）求Z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2009）．

Answer

（1）由框图，知数列xn中，x1=1，xn+1=xn+2，由此能导出xn．
（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80．由此，猜想yn=3n-1（n∈N*，n≤2008）．然后构造成等比数列进行证明．
（3）zn=x1y1+x2y2++xnyn=1×（3-1）+3×（32-1）+5×（33-1）++（2n-1）×（3n-1）=1×3+3×32+5×33++（2n-1）×3n-（1+3+5++2n-1）然后用错位相减法进行求解．
【解析】
（1）由程序框图可知：{xn}是等差数列，且首项x1=1，公差d=2
∴xn=1+2（n-1）=2n-1…（3分）
（2）y1=2=3-1，y2=3×2+2=8=32-1，y3=3×8+2=26=33-1y4=3×26+2=80=34-1
故yn=3n-1…（7分）
（3）xn•yn=（2n-1）（3n-1）=（2n-1）•3n-（2n-1）zn
=（3-1）+（3•32-3）+（5•33-5）+…+[（2n-1）•3n-（2n-1）]
=3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n-[1+3+5+（2n-1）]
=3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n-n2
令Sn=3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n3Sn
=32+3•33+5•34+…+（2n-1）•3n+1
∴-2Sn=3+2（32+33+34+…+3n）-（2n-1）•3n+1
=2（1-n）•3n+1-6
∴Sn=（n-1）•3n+1+3
∴zn=（n-1）•3n+1+3-n2…（14分）