Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．

Answer

（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；
（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）-f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
【解析】
（1）由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（ ，），
得 =a，a=-1
∴y=f（x）=x-1
（2）g（x）=f（x）+x=x+
函数在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1-x2＞0，x1x2＞0，x1x2-1＞0，
于是g（x1）-g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数在区间（1，+∞）上是增函数．