Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）求平面BDD₁与平面BFC₁所成二面角的正弦值．

Answer

（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，分别求出异面直线AE和BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线AE和BF所成角的余弦值；
（2）分别求出平面BDD1与平面BFC1的法向量，代入向量夹角公式，我们可以求出平面BDD1与平面BFC1所成二面角的余弦值，进而根据同角三角函数关系，可以求出平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．
【解析】
以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，
则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C1（2，2，2）
（1）则=（0，1，2），=（-1，0，2）
设异面直线AE和BF所成角为θ
则cosθ==
即异面直线AE和BF所成角的余弦值为
（2）∵=（2，0，0）为平面BDD1的一个法向量，
设向量为平面BFC1的一个法向量
则，即
令z=1，则向量为平面BFC1的一个法向量
∵cos==
∴sin=
∴平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为