Question

设，是否存在整式g（n）使得a₁+a₂+…+a_n-1=g（n）•（a_n-1）对不小于2的一切自然数n都成立，并证明你的结论．

Answer

进而求得 最后（n-1）an-1-（n-2）an-2=nan-n=n（an-1），判断存在关于n的整式g（n）=n
【解析】
由题意，，∴nan-（n-1）an-1=an-1+1，（n-1）an-1-（n-2）an-2=an-2+1，…，2a2-a1=a1+1，叠加得：a1+a2+…+an-1=n（an-1），对不小于2的一切自然数n都成立，g（n）=n
故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．
下用数学归纳法证明：
①当n=2时，左边a1=1，右边=2×（a2-1）=1，此时等式成立．
②假设当n=k，（k＞2）成立，即a1+a2+…+ak-1=k（ak-1），
则当n=k+1时，a1+a2+…+ak-1+ak=k（ak-1）+ak=（k+1）ak-k=（k+1）（ak-）=（k+1）（ak-1）成立．
即由①②知，等式对任意的n＞2，都恒成立．