Question

给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（ ）
（1）函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0；
（2）函数y=2^-x的反函数是y=-log₂x；
（3）若函数f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，则a≤-4或a≥0；
（4）若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由奇函数的定义和性质，我们可以判断（1）的真假；根据反函数的定义，易对数的运算性质，可以判断（2）的真假；根据对数函数的值域为R，则R+为x2+ax-a值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断（3）的真假；根据函数图象的平移变换法则，及偶函数的定义，可以判断（4）的真假；进而得到答案．
【解析】
∵y=x|x|，y=bx均为奇函数，
故函数f（x）=x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c=0，故（1）正确；
函数y=2-x=的反函数是y==y=-log2x，故（2）正确；
若函数f（x）=lg（x2+ax-a）的值域是R，则y=x2+ax-a的图象与x轴有交点，即a2+4a≥0，故a≤-4或a≥0，故（3）正确；
若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故（4）错误；
故选C