Question

如图，A₁、A₂为圆x²+y²=1与x轴的两个交点，P₁P₂为垂直于x轴的弦，且A₁P₁与A₂P₂的交点为M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记动点M的轨迹为曲线E，若过点A（0，1）的直线l与曲线E交于y轴右边不同两点C、B，且，求直线l的方程．

Answer

（1）直线A1P1：y=，直线A2P2：y=，由M是A1P1和A2P2的交点，求得，，而，由此能够导出M点轨迹方程．
（2）设直线l方程为y=kx+1，x2-（kx+1）2=1，，，由，得，从而得到直线l方程．
【解析】
（1）直线A1P1：y=，直线A2P2：y=，
∵M是A1P1和A2P2的交点，所以，
求得，，
而，
所以M点轨迹方程是x2-y2=1．
（2）设直线l方程为y=kx+1，
∴x2-（kx+1）2=1，
，
，
∵，，所以xc=2xb，
将上面式子代入，解得，
因为直线l与曲线E交于y轴“右边”不同两点C，B，
所以k=-（正值舍去）
直线l方程为y=-．