Question

已知关于x的不等式（k²+4k-5）x²+4（1-k）x+3＞0对任何实数x都成立，求实数k的取值范围．

Answer

不等式（k2+4k-5）x2+4（1-k）x+3＞0可以看着是类二次函数y=（k2+4k-5）x2+4（1-k）x+3恒在x轴上方，则函数图象开口向上，与x轴无交点；当然本题还需对二次项系数进行讨论．
【解析】
（1）当k2+4k-5=0时，k=-5或k=1．当k=-5时，不等式变为24x+3＞0，显然不满足题意，∴k≠-5．当k=1时，不等式变为3＞0，这时x∈R．
（2）当k2+4k-5≠0，根据题意有⇔1＜k＜19，
综上，实数k的取值范围为1≤k＜19．