Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

Answer

本题考查的是不等式的综合应用问题．在解答时：
（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f（2+cosβ）≤0，即可获得问题的解答；
（3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答．
【解析】
（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=0，
∴1+b+c=0，∴b+c=-1．
（2）证明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，
∴f（x）=x2-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立
∴x-c≤0，即c≥x恒成立．
∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin2α-（1+c）sinα+c=（sinα-）2+c-（）2，
∵
∴当sinα=-1时，f（sinα）的最大值为1-b+c．
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4，c=3．
即b=-4，c=3．