Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²-6x+b，a、b为实数，f（0）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为-6．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先求函数的导数，进而根据f'（1）=-6求出a的值，然后根据f（0）=1，求出b的值即可求出函数的解析式；
（2）先利用导数判断函数的单调性，进而求出函数在区间（-2，2）内的最大值，再解不等式即可．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax-6  …（1分）
由导数的几何意义，f'（1）=-6
∴a=- …（2分）
∵f（0）=1∴b=1  …（3分）
∴f（x）=x3-x2-6x+1  …（4分）
（2）f'（x）=3x2-3x-6=3（x+1）（x-2）
令f'（x）=0得x1=-1，x2=2   …（5分）
当x∈（-2，-1）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减．…（7分）
∴在区间（-2，2）内，函数f（x）的最大值为f（-1）=  …（8分）
∵f（x）≤|2m-1|对任意的x∈（-2，2）恒成立
∴|2m-1|≥  …（10分）
∴2m-1≥ 2m-1≤-
∴m≥或m≤-   …（12分）