Question

过点（1，3）且与曲线y=x³+2x相切的直线方程为    ．

Answer

设切点为（x，y），则y=x3-3x2+2x，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x处的切线斜率，便可建立关于x的方程．在两边同除以x时，要注意对x是否为0进行讨论．
【解析】
设直线l：y-3=k（x-1）．∵y′=3x2+2，∴y′|x=1=5，
又∵直线与曲线均过点（1，3），于是直线y-3=k（x-1）与曲线y=x3+2x相切于切点（1，3）时，k=5．
若直线与曲线切于点（x，y）（x≠0），则k=，∵y=x3+2x，
∴=x2-3x+2，
又∵k=y′|=3x2+2，
∴x2-3x+2=3x2+2，∴2x2+3x=0，
∵x≠0，∴x=-，∴k=x2-3x+2=，
故直线l的方程为11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
故答案为：11x-4y+1=0或5x-y-2=0．