Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=0时，求实数k的值；
（Ⅱ）当时，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设A、B是圆C：（x-1）²+y²=1上两点，且满足|OA|•|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．

Answer

（I）当b=0时，M点即为原点，根据圆C的方程：（x-1）2+y2=1，原点（M点）落在圆上，若MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）2+y2=1直径，将圆心坐标代入直线方程，即可求出实数k的值；
（Ⅱ）根据P、Q两点在直线l：y=kx-1上，设出P，Q两点的坐标为（X1，kX1-1），（X2，kX2-1），联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式，根据 时，即可得到实数k的取值范围．
（Ⅲ）设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），进而根据|OA|•|OB|=1，求得y2•y1，进而把直线与圆方程联立，求得y2•y1，进而根据原点O到直线AB距离求得d，进而判断出直线AB恒与圆 相切．
【解析】
（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题设条件可得x1x2+y1y2=0，将y=kx-1代入圆C：（x-1）2+y2=1得（1+k2）x2-2（1+k）x+1=0，
故有，，
又y1y2=（kx1-1）（kx2-1）=k2x1x2-k（x1+x2）+1==
∴+=0，得k=1；
（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（X1，kX1-1），（X2，kX2-1）
则由圆C：（x-1）2+y2=1及直线l：y=kx-1
得（k2+1）x2-2（k+1）x+1=0
则X1•X2=，X1+X2=
则 =（X1，kX1-1-b），=（X2，kX2-1-b）
由MP⊥MQ则
X1•X2+（kX1-1-b）•（kX2-1-b）=0
即
∵，∴b+1＜2，
∴∈[2，）
解得k≥1，
故实数k的取值范围[1，+∞）
（Ⅲ）∵圆C的方程为（x-1）2+y2=1
设AB：x=ky+λ，A（x1，y1），B（x2，y2），
由|OA|•|OB|=1 x12+y12•x22+y22=1-（x1-1）2+y12•1-（x2-1）2+y22=2x1•2x2=1⇒x1x2=
又∵⇒（k2+1）x2+2（kλ-1）y+λ2=0，
∴，
又原点O到直线AB距离
∴，即原点O到直线AB的距离恒为
∴直线AB恒与圆 相切．