Question

数列a_n的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列a_n+3是等比数列，求出数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列b_n的前n项和T_n；
（Ⅲ）判断数列a_n中是否存在构成等差数列的三项？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据an+1=Sn+1-Sn，求得an+1=2an+3，整理可得判断出数列an+3是等比数列，进而利用等比数列的通项公式求得an+3进而求得an．
（Ⅱ）把（1）中的an代入bn中，进而利用错位相减法和等差数列的求和公式求得前n项的和．
（Ⅲ）设存在s，p，r∈N*，且s＜p＜r，使得as，ap，ar成等差数列，根据等差中项的性质可知2ap=as+ar，利用（1）中的an展开得2p+1=2s+2r，2p-s+1=1+2r-s，进而根据2p-s+1，2r-s为偶数，而1+2r-s为奇数，判断出假设不成立．故可知不存在这样的三项．
【解析】
（Ⅰ）因为Sn=2an-3n，所以Sn+1=2an+1-3（n+1），
则an+1=2an+1-2an-3，所以an+1=2an+3，，
数列an+3是等比数列，a1=S1=3，a1+3=6，an+3=6•2n-1=3•2n，
所以an=3•2n-3．
（Ⅱ），Tn=2+2•22+3•23++n•2n-（1+2++n），
令Tn′=2+2•22+3•23++n•2n，①2Tn′=22+2•23+3•24++（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②得，-Tn′=2+22++2n-n•2n+1=-2（1-2n）-n•2n+1，Tn′=2+（n-1）•2n+1，
所以．
（Ⅲ）设存在s，p，r∈N*，且s＜p＜r，使得as，ap，ar成等差数列，则2ap=as+ar，即2（3•2p-3）=3•2s-3+3•2r-3
即2p+1=2s+2r，2p-s+1=1+2r-s，2p-s+1，2r-s为偶数，而1+2r-s为奇数，
所以2p+1=2s+2r不成立，故不存在满足条件的三项．