Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：
（I）求a₁，a₂，a₃的值，猜测a_n的表达式并给予证明；
（II）求证：；
（III）设数列的前n项和为．

Answer

（Ⅰ）令n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜想：an=n+1（n∈N*），再用用数字归纳法证明．
（Ⅱ）构造函数，求导，利用y=cosx的单调性知f（x）在内有且只有一个极大值点，从而可证；
（III）由，结合，利用裂项求和，可得对一切．利用，可证右边．
【解析】
（Ⅰ）a1=2，a2=3，a3=4，猜测：an=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a1=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=k+1
由条件∴
两式相减得：
则当n=k+1时，∴ak+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N*，an=n+1成立
（Ⅱ）设
由
由y=cosx的单调性知f（x）在内有且只有一个极大值点，
且∴
即．
令时有，∴
又当，∴∴
（Ⅲ）∵anan+1≥6，∴
由（Ⅱ）可知∴
即对一切．
又∵∴
即对一切．∴．