Question

设各项都是正数的数列{a_n}满足：对于任意的自然数n，都有．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，试求数列{b_n}的最大项；
（Ⅲ）令c₁=3，c_n=3a_n-1（n≥2），，是否存在自然数c，k，使得成立？证明你的论断．

Answer

（Ⅰ） 类比于已知Sn求an，写出n+1时表达式，再两式相减，易得．
（Ⅱ）可求得，利用作差法判定单调性，求最大项
（Ⅲ） ，再求出Sn代入表达式，解关于c，k的不定方程，探讨解的情况．
【解析】
（1）由题意，知：．           ①
当n≥2时，．        ②
由①-②，知：当n≥2时，，即．    
当n=1时，log0.5a1=1，适合上式．
所以，数列{an}的通项公式是．         
（2）由（1）知：．
由，即．        
解得：7≤n≤8
因为n∈N*，所以，n=7或8
（3）由题意，知：当n≥2时，．
又c1=3适合上式，故数列{cn}的通项公式为．     
所以，．                     
假设存在自然数c，k，使得成立．即．
所以，
所以，
即
所以，
因为c，k为自然数，所以，（6-c）•2k比为整数，
所以，（6-c）•2k=7，所以，，即k=0，c=-1，不合题意
所以，不存在自然数c，k，使得成立．