Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分别是BC、PE的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的正切值．

Answer

（1）取AD的中点O，连接OP，OE，由等腰三角形三线合一，及OE∥AB，可得OE⊥AD，又由侧面PAD⊥底面ABCD，我们易得到AD⊥平面OPE．再由线面垂直的性质定理可得到AD⊥PE；
（2）有两种解法，一是取OE的中点F，连接FG，OG，结合（1）的结论，我们易得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE即可得到答案；二是建立空间坐标系，确定各个顶点的坐标，及平面ADE及平面ADG的法向量，然后代入向量夹角公式，我们易求出二面角E-AD-G的余弦值，进而求出二面角E-AD-G的正切值．
证明：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OE∵PA=PD，∴OP⊥AD又E是BC的中点，
∴OE∥AB，∴OE⊥AD．又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE⊂平面OPE，∴AD⊥PE
（2）
解法一：
取OE的中点F，连接FG，OG，则由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角
∵PA=PD，∠APD=60°，∴△APD为等边三角形，且边长为2
∴OP=，，，∴
∴
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，），E（0，2，0）
∴．设平面ADG的法向量为n=（x，y，z）
由，得
∴又平面EAD的一个法向量为
又因为=
则，
∴二面角E-AD-G的正切值为