Question

已知各项均为正数的数列a_n满足（n∈N*），且a₁+a₂+a₃=a₄-2．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）证明：7•4ⁿ⁺¹＞3n+1（n∈N*）
（Ⅲ）若n∈N*，令b_n=a_n²，设数列b_n的前n项和为T_n（n∈N*），试比较与的大小．

Answer

（Ⅰ）先整理得2an=an+1，进而得数列{an}公比为2的等比数列；再借助于a1+a2+a3=a4-2求出首项
即可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）先推得n=1时不等式成立，再假设当n=k时，不等式7•4k+1＞3k+1成立，借助于放缩法即可证明n=k+1时不等式成立，即可证得结论；
（Ⅲ）把（Ⅰ）的结论代入整理可得数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列，即可求出Tn（n∈N*），再对
与作差整理即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）∵，
an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0
又an＞0，所以有2an-an+1=0，
∴2an=an+1所以数列{an}为公比为2的等比数列
由a1+a2+a3=a4-2得a1+2a1+4a1=8a1-2，解得a1=2
故数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*）
（Ⅱ）①当n=1时，7•4=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立
②假设当n=k时，不等式7•4k+1＞3k+1成立
当n=k+1时，
7×4k=4×7×4k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
综上①②对任意的n∈N*均有7•4n+1＞3n+1
（Ⅲ）因bn=an2=22n=4n，所以
即数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列
所以，
又
∴-=-
=
所以对任意的n∈N*均有