Question

已知a＞0，b＞0，判断a³+b³与a²b+ab²的大小，并证明你的结论．

Answer

法一，分析法：证明使a3+b3＞a2b+ab2成立的充分条件成立，即要证a2+b2＞a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立，只需证a2-ab+b2＞ab成立，而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，从而得到证明；
法二，综合法：由条件a≠b推出：a2-2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．
法三，比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．
【解析】
证明：法一：（分析法）
要证a2+b2＞a2b+ab2成立，
只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立
又因为a＞0，
只需证a2-ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，
由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a2-2ab+b2＞0
∴a2-ab+b2＞ab（*）
而a，b均为正数，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）
∴a3+b3＞a2b+ab2．
法三：比较法（作差）
（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）
…（4分）
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a-b）2≥0．
∴（a+b）（a-b）2≥0．…（6分）
故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0即a3+b3≥a2b+ab2…（8分）