Question

已知函数f（x）=px²+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{a_n}，设它的前n项和为S_n，且满足S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明a_n+1＞a_n＞1（n∈N^*）；
（2）求证：点在同一直线l₁上；
（3）若过点N₁（1，a₁），N₂（2，a₂）作直线l₂，设l₂与l₁的夹角为θ，求tanθ的最大值．

Answer

（1）由“当n=1时，a1=s1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1”，求出通项公式an，再由p＞0，p+q＞1进行证明；
（2）根据一条直线的斜率是一个定值，即在所给的点中任选两点求出是定值进行证明；
（3）由斜率公式求出直线l2的斜率，再由（2）和夹角公式表示夹角的正切，化简后利用基本不等式求出最大值，注意等号成立的条件．
【解析】
（1）∵Sn=f（n）=pn2+qn∴当n=1时，a1=s1=p+q
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn-p+q
由于n=1时，a1=p+q适合上式，故数列{an}的通项公式为an=2pn-p+q…（3分）
又∵an+1-an=2p＞0，
∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴an+1＞an＞…＞a1=p+q＞1，
∴an+1＞an＞1…（4分）
（2）设Mi，Mj（i≠j）是M1，M2，…，Mn中任意两点，则
=P…（8分）
∴Mi，Mj两点连线的斜率为定值P，又Mi，Mj是M1，M2，…，Mn中任意两点，
∴点M1，M2，…，Mn在同一直线l1上…（9分）
（3）∵N1，N2 两点连线的斜率为，
又∵直线l1的斜率为k1=p，由夹角公式得
…（13分）
当且仅当即时，上式等号成立．
故当时，tanθ有最大值…（14分）