Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2，
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若过点N（1，1）的直线l与曲线E交于C、D两点，且，求直线l的方程．

Answer

（1）由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率分别为，结合题意得到x与y的关系，进而得到答案．
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，所以设l：y-1=k（x-1），C（x1，y1），D（x2，y2），联立方程组得：（2+k2）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0，再结合根据根与系数的关系与，得到k2-6k+1=0，进而求出直线的斜率得到直线的方程．
【解析】
（1）由题意可得：设M（x，y），
所以直线AM与直线BM的斜率分别为，
因为直线AM与直线BM的斜率之积为-2，
所以，化简得：．
所以动点M的轨迹E的方程为．
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，所以设l：y-1=k（x-1），C（x1，y1），D（x2，y2），
联立方程组得：
所以整理可得：（2+k2）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0
所以根据根与系数的关系可得：
因为，所以x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+k（1-k）（x1+x2）+（1-k）2=0，
，
．
所以直线l的方程．