Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求CD与平面ADE所成角的正切值．

Answer

（I）根据翻折问题，在翻折前后在同一个平面上的位置关系及度量关系不变得到BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE且交线为AE
根据平面垂直的性质定理得到BE⊥AD，再根据直线与平面垂直的判断定理得证．
（II）在平面ABCE内作CF⊥平面ADE交直线AE于F，连DF，根据平面垂直的性质定理得到CF⊥平面ADE，根据直线与平面所成角的定义得到∠CDF就是CD与平面ADE所成的角，通过解三角形求出CD与平面ADE所成角的正切值．
【解析】
（Ⅰ） 由题知：BE⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE且交线为AE
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，且DE∩BE=E
∴AD⊥平面BDE
（Ⅱ）在平面ABCE内作CF⊥平面ADE交直线AE于F，连DF，
∵平面ADE⊥平面ABCE且交线为AE
∴CF⊥平面ADE
∴∠CDF就是CD与平面ADE所成的角
由题易求CF=1，DF=5，则
tan∠CDF=