Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（y₁＞0，y₂＜0）两点，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点，若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：k_MA=a、k_MF=b、k_MB=c，（如图）
（1）若y₁y₂=-4，求抛物线的方程；
（2）当b=2时，求证：a+c为定值．

Answer

（1设）直线方程为y=k（x-）或x=（斜率k不存在）在与抛物线方程联立，求出y1y2，再根据y1y2=-4，就可求出p值，进而求出抛物线方程．
（2）当b=2时，分别用含A，B，M三点坐标式子表示：kMA，kMF，kMB，再利用它们的关系求a+c，看是否为常数．
【解析】
（1）设过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F（，0）的直线方程为y=k（x-）或x=（斜率k不存在），则    得，∴y1y2=-p2
当x=（斜率k不存在）时，则A（，p），B（，-P），∴y1y2=-p2
又∵y1y2=-4∴P=2，∴所求抛物线方程为y2=4x
（2）设A（，y1），B（，y2），M（-，t），F（，0），
由已知直线MA，MF，MB的斜率分别记为：kMA，=a，kMF=b，kMB=c，
得a=，b=，c=且，

∴a+c====2b
∵b=2，∴a+c=4∴a+c为定值．