Question

定义在R上的函数f（x），对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，记a_n=f（n）（n∈N^*），则a₂₀₀₈=    ．

Answer

先根据题意利用夹逼原理求出f（x+1）=f（x）+1，再由an=f（n）（n∈N*），f（x+1）=f（x）+1知道数列{an}的递推关系，又由f（1）=2，可以判断数列{an}是等差数列，通过等差数列的定义，求出其通项公式，从而求得a2008的值．
【解析】
∵对任意实数x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立
∴f（x）+4≤f（x+2）+2≤f（x+4）≤f（x+1）+3≤f（x+3）+1≤f（x）+4
即f（x）+1≤f（x+1）≤f（x）+1
∴f（x+1）=f（x）+1
：∵an=f（n），f（x+1）=f（x）+1
∴an+1=an+1，又知a1=f（1）=2，所以有等差数列的定义，
可知数列{an}是以首项为2，公差为1的等差数列．
∴an=2+（n-1）×1=n+1，
∴a2008=2009．
故答案为：2009．