Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a_n-2S_n=1，数列{b_n}满足b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项a_n与{b_n}的前n项和T_n；
（2）设数列{}的前n项和为U_n，求证：0＜U_n≤4．

Answer

（1）取n=1解出数列{an}的首项a1=，然后用n-1代替n，将得到的式子与原式作差，可得关于anan-1的关系式，从而得出数列{an}的是一个等比数列，最后可得数列{an}的通项an，再将这个通项代入到bn=2，n∈N*，从而得出bn=4-2n，为等差数列，用公式可得其{bn}的前n项和Tn=-n2+3n；
（2）数列{}的通项是等差与等比对应项的积，因此可以用错位相减法求出它的前n项和为Un，最后根据数列Un的单调性结合不等式的性质，可以证明不等式0＜Un≤4成立．
【解析】
（1）易得a1=．…（1分）
当n≥2时，4an-2Sn=1，…①
4an-1-2Sn-1=1…②
①-②，得4an-4an-1-2an=0⇒an=2an-1．
∴=2（n≥2）．
∴数列{an}是以a1=为首项，2为公比的等比数列．
∴an=2n-2．…（4分）
从而bn=4-2n，其前n项和Tn=-n2+3n…（6分）
（2）∵{an}为等比数列、{bn}为等差数列，=，
∴Un=+++…++…③
Un=+++…++…④
③-④，得Un=4----…--，
∴Un=…（10分）
易知U1=U2=4，当n≥3时，Un-Un-1=＜0．
∴当n≥3时，数列{Un}是递减数列．…（11分）
∴0＜Un＜U3=3．
故0＜Un≤4．…（12分）