Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）+f（-x）=0；
（2）若f（-3）=a，试用a表示f（24）；
（3）如果x∈R时，f（x）＜0，且，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer

（1）令x=y=0得f（0），再令y=-x得f（-x）=-f（x）变形．
（2）由（1）知得f（3）=-a，再由f（24）=f（3+3++3）=8f（3）求解．
（3）要求最大值，必须先证单调性，又能是抽象函数，则单调性定义进行证明．设x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）在R上是减函数，得到结论．
【解析】
（1）令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x），
∴f（-x）+f（x）=0．
（2）由f（-3）=af（3）=-a，∴f（24）=f（3+3++3）=8f（3）=-8a．
（3）设x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2-x1）]=f（x1）+f（x2-x1）
又∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，∴f（x1）+f（x2-x1）＜f（x1），
∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在R上是减函
数，∴f（x）max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
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