根据题意画出图形,如图所示,过B作BE于AC平行,可得一对内错角相等,又AD为角平分线,可得一对角相等,等量代换可得∠E=∠BAD,从而得到三角形ABE为等腰三角形,由AB=4,可得BE=4,过B作BH垂直于AE,由三线合一得到H为AE中点,由AC与BE平行,得到两对内错角相等,进而得到三角形ACD与三角形BED相似,由对应边AC与BE的比值得到相似比,从而由AD可求出DE的值,进而求出AE的长,再由DB与DC之比等于相似比,三角形ABD与三角形ACD高为同一条高,故两三角形面积之比等于BD比CD,可得出三角形ABD面积与三角形ABC面积间的关系,利用AD及AD边上的高BH,根据三角形的面积公式求出三角形ABD的面积,即可求出三角形ABC的面积.
【解析】
根据题意画出图形,如图所示:
过B作BE∥AC,与AD的延长线交于点E,∴∠E=∠CAD,
∵AD为角平分线,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠E=∠BAD,即△ABE为等腰三角形,
∴AB=BE=4,
作BH⊥AE,垂足为点E,
∴H为AE中点,即AH=EH=AE,
又BE∥AC,∴∠E=∠CAD,∠EBD=∠C,
∴△ACD∽△EBD,又AC=3,BE=4,AD=2,
∴===,
∴ED=,AE=AD+DE=2+=,
∴AH=AE=,
在Rt△ABH中,利用勾股定理得:BH==,
∴S△ABD=AD•BH=,
又CD:BD=3:4,
∴S△ACD:S△ABD=3:4,且S△ABC=S△ACD+S△ABD,
则S△ABC=S△ABD=.
故答案为: