Question

设定义在R上的函数f（x）=若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=    ．

Answer

由函数的解析式易知f（x）的图象关于直线x=1对称．从而得出f2（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，不妨设为x1，而x2，x3关于直线x=1对称，于是求得x1+x2+x3的值．
【解析】
易知f（x）的图象关于直线x=1对称
对于方程f2（x）+bf（x）+c=0，是一个关于f（x）的一元二次方程，若此一元二次方程仅有一根，则必有
f（x）=1，此时x1，x2，x3三个数中有一个是1，另两个关于x=1对称，此时有 x1+x2+x3=3
若关于f（x）的一元二次方程f2（x）+bf（x）+c=0有两个根，则必有f（x）=1与f（x）=m≠1
此时f（x）=1的根为1，f（x）=m≠1有两根，且此两根关于x=1对称，此时有x1+x2+x3=3
综上知x1+x2+x3=3
故答案为3．