Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2-及f₂（x）=1+3•（（x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．

Answer

（1）要判断函数是否在集合A中，只要判断对于任意的x≥0f（x）是否满足f（x）∈（1，4]，且f（x）在（0，+∞）单调递减即可
（2）由（1）可知，当x≥0时，，从而有f（x）+f（x+2）=2+•（≤k在（0，+∞）上恒成立
，从而转化为求解2+在（0，+∞）上的最大值即可
【解析】
（1）∵f1（49）=2-=-5∉（1，4]，∴f1（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（≤1，∴0＜3•（≤3，从而1＜1+3•（≤4．∴f2（x）∈（1，4]．
又f2（x）=1+3•（在[0，+∞）上为减函数，∴f2（x）=1+3•（在集合A中．…（7分）
（2）当x≥0时，f（x）+f（x+2）=2+•（≤．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立，∴k≥．
因此所求实数k的取值范围是[，+∞）．                      …（14分）