Question

已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2010，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．
（3）当k=1时，证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（1）由已知可得函数的定义域为x＞0，对函数求导可得，分k是奇数时，f'（x）＞0，及k是偶数讨论，的符号，进而确定函数f （x）在（0，+∞）的单调性
（2）由k=2010，可得f（x）=x2-2alnx，构造函数g （x）=f （x）-2ax=x 2-2 a xlnx-2ax，对函数求导可得，若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解
（3）当k=1时，问题等价于证明，由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是设由导数知识可得，从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．
【解析】
（1）由已知得x＞0且．
当k是奇数时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；       
当k是偶数时，则．
所以当x∈时，f'（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．
故当k是偶数时，f （x）在上是减函数，在（a，+∞）上是增函数
（2）若k=2010，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）．
记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2 a xlnx-2ax，，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；     
令g'（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以（舍去），．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）min=g（x2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则即
两式相减得2alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得
（3）当k=1时，问题等价于证明，
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，易得，当且仅当x=1时取到
从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．故命题成立．